Математический анализ Примеры

$| 2 x - 1 |$

Этап 1

Запишем $| 2 x - 1 |$ в виде функции.

$f (x) = | 2 x - 1 |$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int | 2 x - 1 | d x$

Этап 4

Приравняем аргумент модуля к $0$ , чтобы найти возможные значения, на которые разобьется решение.

$2 x - 1 = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Зададим интервалы вокруг решений, чтобы узнать, где $2 x - 1$ принимает положительные и отрицательные значения.

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 7

Подставим значение на каждом интервале в $2 x - 1$ , чтобы определить знак выражения на каждом из них.

$\begin{array}{c} Интервал & Знак на интервале \\ (- \infty, \frac{1}{2}) & - \\ (\frac{1}{2}, \infty) & + \end{array}$

Этап 8

Проинтегрируем аргумент модуля.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Составим интеграл с аргументом модуля.

$\int 2 x - 1 d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x$

Этап 8.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Этап 8.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Этап 8.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Этап 8.7

Упростим.

$x^{2} - x + C$

Этап 9

На интервалах, где аргумент отрицателен, умножим значение интеграла на $- 1$ .

${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$