Математический анализ Примеры

$\tan^{3} (θ)$

Этап 1

Запишем $\tan^{3} (θ)$ в виде функции.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (θ)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

Этап 4

Вынесем $\tan^{2} (θ)$ за скобки.

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (θ)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 9

Интеграл $\tan (θ)$ по $θ$ имеет вид $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 10

Пусть $u = \sec (θ)$ . Тогда $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = \sec (θ)$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Этап 10.1.2

Производная $\sec (θ)$ по $θ$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 12

Упростим.

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$