Математический анализ Примеры

$\frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 1

Запишем $\frac{4}{3} π r^{3}$ в виде функции.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (r)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (r)$ .

$F (r) = \int f (r) d r$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (r) = \int \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) d r$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\int \frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3} d r$

Этап 4.2

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $r^{3}$ .

$\int \frac{π \cdot 4 r^{3}}{3} d r$

Этап 4.3

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\int \frac{4 π r^{3}}{3} d r$

Этап 5

Поскольку $\frac{4 π}{3}$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $\frac{4 π}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4 π}{3} \int r^{3} d r$

Этап 6

По правилу степени интеграл $r^{3}$ по $r$ имеет вид $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{1}{4} r^{4} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{4 π}{3} (\frac{1}{4} r^{4} + C)$ в виде $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} r^{4} + C$ .

$\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} r^{4} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 π}{3 \cdot 4} r^{4} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{4 π}{12} r^{4} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 π$ .

$\frac{4 (π)}{12} r^{4} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 π}{4 \cdot 3} r^{4} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 π}{4 \cdot 3} r^{4} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3} r^{4} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (r) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

$F (r) =$ $\frac{π}{3} r^{4} + C$