Математический анализ Примеры

$\frac{1}{z^{2}} + 9 z$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{z^{2}} + 9 z$ в виде функции.

$f (z) = \frac{1}{z^{2}} + 9 z$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (z)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (z)$ .

$F (z) = \int f (z) d z$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (z) = \int \frac{1}{z^{2}} + 9 z d z$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{z^{2}} d z + \int 9 z d z$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $z^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(z^{2})}^{- 1} d z + \int 9 z d z$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z^{2 \cdot - 1} d z + \int 9 z d z$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int z^{- 2} d z + \int 9 z d z$

Этап 6

По правилу степени интеграл $z^{- 2}$ по $z$ имеет вид $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C + \int 9 z d z$

Этап 7

Поскольку $9$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$- z^{- 1} + C + 9 \int z d z$

Этап 8

По правилу степени интеграл $z$ по $z$ имеет вид $\frac{1}{2} z^{2}$ .

$- z^{- 1} + C + 9 (\frac{1}{2} z^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$- \frac{1}{z} + 9 (\frac{1}{2} z^{2}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $z^{2}$ .

$- \frac{1}{z} + 9 \frac{z^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $9$ и $\frac{z^{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{z} + \frac{9 z^{2}}{2} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{z} + \frac{9}{2} z^{2} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (z) = \frac{1}{z^{2}} + 9 z$ .

$F (z) =$ $- \frac{1}{z} + \frac{9}{2} z^{2} + C$