Математический анализ Примеры

$- \ln (x)$

Этап 1

Запишем $- \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = - \ln (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - \ln (x) d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \ln (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$- (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$- (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$- (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$- (\ln (x) x - \int d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\ln (x) x - (x + C))$

Этап 8

Упростим.

$- (\ln (x) x - x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - \ln (x)$ .

$F (x) =$ $- (\ln (x) x - x) + C$