Математический анализ Примеры

$16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 4

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 5

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (x)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ на $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$16 \int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$16 (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $16$ .

$\frac{16}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Этап 9.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Этап 10

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$4 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Этап 12

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.1.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.2

Развернем $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.4

Перенесем $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.5

Умножим $1$ на $1$ .

$2 \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.6

Умножим $\cos (u_{1})$ на $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.2.9

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.2.10

Возведем $\cos (u_{1})$ в степень $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Этап 12.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Этап 12.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.13

Вычтем $\cos (u_{1})$ из $\cos (u_{1})$ .

$2 \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 12.2.14

Вычтем $\cos^{2} (u_{1})$ из $0$ .

$2 \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 13

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 15

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 16

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Этап 17

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Этап 18

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Этап 19

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Этап 20

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 20.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 20.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 20.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 20.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Этап 21

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Этап 22

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Этап 23

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Упростим.

$2 (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Чтобы записать $u_{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.2.2

Объединим $u_{1}$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.2.4

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$2 (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 24.2.5

Вычтем $u_{1}$ из $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 25

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Этап 25.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Этап 25.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Этап 26.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$2 (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Этап 26.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Этап 26.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Этап 26.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (4 x)}{4}$ в числитель.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{4} + C$

Этап 26.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 (2)} + C$

Этап 26.3.3

Сократим общий множитель.

$2 x + 2 \frac{- \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 26.3.4

Перепишем это выражение.

$2 x + \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Этап 26.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Этап 27

Изменим порядок членов.

$2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$

Этап 28

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 16 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x) + C$