Математический анализ Примеры

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 1

Запишем $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Упростим $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Этап 6.2

Умножим $\sec^{2} (t)$ на $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Этап 7

Вынесем $\tan^{2} (t)$ за скобки.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Этап 9

Пусть $u = \sec (t)$ . Тогда $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = \sec (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Этап 9.1.2

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Этап 10

Умножим $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $- 1 u^{2}$ в виде $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 11.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 11.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Этап 15

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 16.2

Упростим.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$