Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ в виде ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $x^{3} + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.1.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Этап 1.1.12

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$

Этап 1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$ .

$(3 x^{2} + 8) \frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.2

Умножим $3 x^{2} + 8$ на $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 x^{2} + 8 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 8$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{3}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{8}{3}$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{8}{3}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{8}{3}}$

Этап 2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{8}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.4.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.5

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.3.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.6.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.6.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.4.6.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.4.6.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Этап 2.3.4.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 2.3.4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.8.1

Объединим $i$ и $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{6})}{3}$

Этап 2.3.4.8.2

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{{(x^{3} + 8 x)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x^{3} + 8 x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x^{3} + 8 x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ в виде ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (x^{3} + 8 x) = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} + 4 (8 x) = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.6

Умножим $8$ на $4$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} + 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 32 x = 0$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $32 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (8) = 0$

Этап 3.3.3.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (8)$ .

$4 x (x^{2} + 8) = 0$

Этап 3.3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Этап 3.3.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3.4

Приравняем $x^{2} + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Приравняем $x^{2} + 8$ к $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Этап 3.3.3.4.2

Решим $x^{2} + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 8$

Этап 3.3.3.4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Этап 3.3.3.4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.3.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Этап 3.3.3.4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Этап 3.3.3.4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Этап 3.3.3.4.2.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Этап 3.3.3.4.2.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.3.4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Этап 3.3.3.4.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.3.3.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.3.3.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.3.3.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.3.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x^{2} + 8) = 0$ верно.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} + 8 x < 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 8 x = 0$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 = 0$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} + 8) = 0$

Этап 3.5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Этап 3.5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5.5

Приравняем $x^{2} + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Приравняем $x^{2} + 8$ к $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Этап 3.5.5.2

Решим $x^{2} + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 8$

Этап 3.5.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Этап 3.5.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.3.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Этап 3.5.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Этап 3.5.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Этап 3.5.5.2.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Этап 3.5.5.2.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 3.5.5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Этап 3.5.5.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.5.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.5.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.5.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} + 8) = 0$ верно.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Этап 3.5.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{3} + 8 (0)}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 + 8 (0)}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$\sqrt{0 + 0}$

Этап 4.1.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\sqrt{0}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 5