Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{2}$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{2}$ по $x$ равна $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.2

Объединим $\frac{π}{2}$ и $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.2.4

Умножим $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ на $π$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ на $1$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Этап 2.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

Этап 2.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

Этап 2.3.4

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (\frac{π x}{2})$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим $\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $π$ из $π n$ .

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

Этап 3.2.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Этап 3.2.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x = 1 + 2 n$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $1$ и $2 n$ .

$x = 2 n + 1$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены