Математический анализ Примеры

$f (x) = | 3 x - 4 |$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 3 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Этап 1.1.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

Этап 1.1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

Этап 1.1.2.6.2

Объединим $\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ и $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.2.6.3

Перенесем $3$ влево от $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.3.2.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $3$ из $9 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x$ .

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.3.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.1.3.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 x) + 3 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 (3 x - 4) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 (3 x - 4) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $3 (3 x - 4) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x - 4$ на $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 3 x - 4 | = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

Этап 3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 4

Вычислим $| 3 x - 4 |$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{4}{3}$ вместо $x$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$| 4 - 4 |$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$| 0 |$

Этап 4.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Этап 5