Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.1.4.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$2 (1 + \ln (x))$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

Этап 1.1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Этап 1.1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \ln (x) + 2$ .

$2 \ln (x) + 2$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 \ln (x) + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \ln (x) = - 2$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 \ln (x) = - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 \ln (x) = - 2$ на $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$\ln (x) = - 1$

Этап 2.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 2.5

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 2.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $2 x \ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{e}$ вместо $x$ .

$2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} \ln (\frac{1}{e})$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$\frac{2}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Этап 4.1.2.3

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Этап 4.1.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\frac{2}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Этап 4.1.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1)$

Этап 4.1.2.7

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{2}{e} (0 - 1)$

Этап 4.1.2.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{2}{e} \cdot - 1$

Этап 4.1.2.9

Умножим $\frac{2}{e} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Объединим $\frac{2}{e}$ и $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e}$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{e}$

Этап 4.1.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{e}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 (0) \ln (0)$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e})$

Этап 5