Математический анализ Примеры

$\cos (θ) - \sin (θ) = 1$

Этап 1

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 2

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{1}{- 1})$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Этап 3.2

Точное значение $\tan^{-1} (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Этап 5

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Этап 6

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\sin (θ - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 6.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 6.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Этап 9

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π + π}{4}$

Этап 9.3

Добавим $π$ и $π$ .

$θ = \frac{2 π}{4}$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4}$

Этап 11

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 11.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 11.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 11.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 11.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $θ$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$θ = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{3 π + π}{4}$

Этап 11.2.3

Добавим $3 π$ и $π$ .

$θ = \frac{4 π}{4}$

Этап 11.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{4 π}{4}$

Этап 11.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$θ = π$

Этап 12

Найдем период $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13

Период функции $\sin (θ - \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Исключим решения, которые не делают $\cos (θ) - \sin (θ) = 1$ истинным.

Нет решения