Математический анализ Примеры

$x y^{2} = y$ , $(1, 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x y^{2}) = \frac{d}{d y} (y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 x y + y^{2} x'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y + y^{2} x' = 1$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x' = 1 - 2 x y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ на $y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ на $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y^{2}}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Этап 5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Этап 5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x}{y}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Этап 7

Заменим $x$ на $1$ и $y$ на $1$ в этом выражении.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2 (1)}{1}$

Этап 8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1} - \frac{2 (1)}{1}$

Этап 8.1.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1 - \frac{2 (1)}{1}$

Этап 8.1.3

Разделим $2 (1)$ на $1$ .

$1 - (2 (1))$

Этап 8.1.4

Умножим $- (2 (1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Этап 8.1.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 - 2$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1$