Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Этап 1.2

Решим $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Этап 1.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Этап 1.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 8)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.4

Нет решения для $4 e^{0.5 x} = - 8$

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Этап 3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Этап 3.5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Этап 3.6

Пусть $u = 0.5 x$ . Тогда $d u = 0.5 d x$ , следовательно $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Пусть $u = 0.5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Дифференцируем $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Этап 3.6.1.2

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Этап 3.6.1.4

Умножим $0.5$ на $1$ .

$0.5$

Этап 3.6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Этап 3.6.3

Умножим $0.5$ на $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Этап 3.6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Этап 3.6.5

Умножим $0.5$ на $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Этап 3.6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Этап 3.6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Этап 3.7

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Этап 3.8

Поскольку $\frac{1}{0.5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{0.5}$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{0.5}$ и $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Этап 3.10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Этап 3.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Найдем значение $8 x$ в $3$ и в $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Этап 3.11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $1.5$ и в $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Этап 3.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Умножим $8$ на $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Этап 3.11.3.2

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Этап 3.11.3.3

Добавим $24$ и $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Этап 3.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Разделим $4$ на $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Этап 3.12.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Этап 3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Этап 3.12.4

Умножим $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Этап 3.12.4.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Этап 3.12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Этап 4