Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 18$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $24$ на $1$ .

$6 x^{2} - 24 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} - 24 x + 24 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $6 x^{2} - 24 x + 24$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 24$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 24 x + 24$ .

$6 x^{2} - 24 x + 24$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 24 x + 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 24 x + 24 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 24 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 24 x + 24 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 24 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 4 x) + 24 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 (- 4 x)$ .

$6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot 4$ .

$6 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$6 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$6 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$6 {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $6 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $6 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $6$ .

$\frac{6 {(x - 2)}^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 {(x - 2)}^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим ${(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2$ .

$2$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 24$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 18$ в интервале $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 6 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 24$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 6 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 24$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (1) = 6 - 24 \cdot 1 + 24$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (1) = 6 - 24 + 24$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $24$ из $6$ .

$f' (1) = - 18 + 24$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 18$ и $24$ .

$f' (1) = 6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 5.3

При $x = 1$ производная имеет вид $6$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 6 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 24$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 6 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 24$

Этап 6.2.1.2

Умножим $6$ на $9$ .

$f' (3) = 54 - 24 \cdot 3 + 24$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 24$ на $3$ .

$f' (3) = 54 - 72 + 24$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $72$ из $54$ .

$f' (3) = - 18 + 24$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 18$ и $24$ .

$f' (3) = 6$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6.3

При $x = 3$ производная имеет вид $6$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

Этап 8