Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- x^{2} - 25}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - x^{2} - 25$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Этап 1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1.1

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.2.2

Добавим $- 2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.9.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $5 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $5 + x$ к $0$ .

$5 + x = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.3.3

Приравняем $5 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $5 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 + x) (5 - x) = 0$ верно.

$x = - 5, 5$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 5, 5$ .

$- 5, 5$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $6$ из $5$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 + 6)}{{(- 6)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $5$ и $6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{{(- 6)}^{2}}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{36}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$f' (- 6) = \frac{- 11}{36}$

Этап 6.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 6) = - \frac{11}{36}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

Этап 6.3

При $x = - 6$ производная имеет вид $- \frac{11}{36}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 5)$ .

Убывание на $(- \infty, - 5)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.4.2

Вычтем $5$ из $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Умножим $- - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + 1 (\frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.5.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.9.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{10 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9.2

Добавим $10$ и $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.3.3

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Этап 7.2.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

Этап 7.2.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{4})}$

Этап 7.2.3.6

Умножим $\frac{25}{4}$ на $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{\frac{25}{4}}$

Этап 7.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Этап 7.2.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Умножим $5$ на $15$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Этап 7.2.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Этап 7.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 7.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 7.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Этап 7.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{5}{2}) = 3$

Этап 7.2.8

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 7.3

При $x = - \frac{5}{2}$ производная имеет вид $3$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 5, 0)$ .

Возрастание в области $(- 5, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.4.2

Добавим $10$ и $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.8.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{10 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8.2

Вычтем $5$ из $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Этап 8.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{4}}$

Этап 8.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $\frac{15}{2}$ на $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Этап 8.2.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Умножим $15$ на $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Этап 8.2.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Этап 8.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 8.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Этап 8.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.7.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Этап 8.2.7.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{2}) = 3$

Этап 8.2.8

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 8.3

При $x = \frac{5}{2}$ производная имеет вид $3$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 5)$ .

Возрастание в области $(0, 5)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(5, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $5$ и $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - (6))}{6^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - 6)}{6^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Вычтем $6$ из $5$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{6^{2}}$

Этап 9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{36}$

Этап 9.2.3.2

Умножим $11$ на $- 1$ .

$f' (6) = \frac{- 11}{36}$

Этап 9.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (6) = - \frac{11}{36}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

Этап 9.3

При $x = 6$ производная имеет вид $- \frac{11}{36}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(5, \infty)$ .

Убывание на $(5, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 5, 0), (0, 5)$

Убывание на: $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

Этап 11