Математический анализ Примеры

$f (x) = 13 x + \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $13 x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $13$ на $1$ .

$13 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$13 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$13 - x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$13 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 13$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}} + 13$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 13$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} + 13 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 13 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 13$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - 13$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - 13$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 13 x^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 13 x^{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 13 x^{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 13 x^{2}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 13 x^{2} = - 1$ .

$- 13 x^{2} = - 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 13 x^{2} = - 1$ на $- 13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 13 x^{2} = - 1$ на $- 13$ .

$\frac{- 13 x^{2}}{- 13} = \frac{- 1}{- 13}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 13 x^{2}}{- 13} = \frac{- 1}{- 13}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 13}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{13}$

Этап 2.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{13}}$

Этап 2.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{13}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{13}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$

Этап 2.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{13}}$

Этап 2.5.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Этап 2.5.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 2.5.4.4.2

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Этап 2.5.4.4.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Этап 2.5.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 2.5.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

Этап 2.5.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{13}}{13}$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{13}}{13}$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{13}}{13}, - \frac{\sqrt{13}}{13}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{\sqrt{13}}{13}, - \frac{\sqrt{13}}{13}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13}, - \frac{\sqrt{13}}{13}$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{13}}{13}) \cup (- \frac{\sqrt{13}}{13}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{13}}{13}) \cup (\frac{\sqrt{13}}{13}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{13}}{13})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.2773501$ .

$f' (- 1.2773501) = - \frac{1}{{(- 1.2773501)}^{2}} + 13$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.2773501$ в степень $2$ .

$f' (- 1.2773501) = - \frac{1}{1.63162327} + 13$

Этап 6.2.1.2

Разделим $1$ на $1.63162327$ .

$f' (- 1.2773501) = - 1 \cdot 0.61288657 + 13$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0.61288657$ .

$f' (- 1.2773501) = - 0.61288657 + 13$

Этап 6.2.2

Добавим $- 0.61288657$ и $13$ .

$f' (- 1.2773501) = 12.38711342$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $12.38711342$ .

$12.38711342$

Этап 6.3

При $x = - 1.2773501$ производная имеет вид $12.38711342$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{\sqrt{13}}{13})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{\sqrt{13}}{13})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 0.2773501, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.13867505$ .

$f' (- 0.13867505) = - \frac{1}{{(- 0.13867505)}^{2}} + 13$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.13867505$ в степень $2$ .

$f' (- 0.13867505) = - \frac{1}{0.01923076} + 13$

Этап 7.2.1.2

Разделим $1$ на $0.01923076$ .

$f' (- 0.13867505) = - 1 \cdot 51.99999929 + 13$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 1$ на $51.99999929$ .

$f' (- 0.13867505) = - 51.99999929 + 13$

Этап 7.2.2

Добавим $- 51.99999929$ и $13$ .

$f' (- 0.13867505) = - 38.99999929$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 38.99999929$ .

$- 38.99999929$

Этап 7.3

При $x = - 0.13867505$ производная имеет вид $- 38.99999929$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.2773501, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{\sqrt{13}}{13}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \frac{\sqrt{13}}{13})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.13867505$ .

$f' (0.13867505) = - \frac{1}{{(0.13867505)}^{2}} + 13$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.13867505$ в степень $2$ .

$f' (0.13867505) = - \frac{1}{0.01923076} + 13$

Этап 8.2.1.2

Разделим $1$ на $0.01923076$ .

$f' (0.13867505) = - 1 \cdot 51.99999929 + 13$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 1$ на $51.99999929$ .

$f' (0.13867505) = - 51.99999929 + 13$

Этап 8.2.2

Добавим $- 51.99999929$ и $13$ .

$f' (0.13867505) = - 38.99999929$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 38.99999929$ .

$- 38.99999929$

Этап 8.3

При $x = 0.13867505$ производная имеет вид $- 38.99999929$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{\sqrt{13}}{13})$ .

Убывание на $(0, \frac{\sqrt{13}}{13})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{13}}{13}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.2773501$ .

$f' (1.2773501) = - \frac{1}{{(1.2773501)}^{2}} + 13$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $1.2773501$ в степень $2$ .

$f' (1.2773501) = - \frac{1}{1.63162327} + 13$

Этап 9.2.1.2

Разделим $1$ на $1.63162327$ .

$f' (1.2773501) = - 1 \cdot 0.61288657 + 13$

Этап 9.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0.61288657$ .

$f' (1.2773501) = - 0.61288657 + 13$

Этап 9.2.2

Добавим $- 0.61288657$ и $13$ .

$f' (1.2773501) = 12.38711342$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $12.38711342$ .

$12.38711342$

Этап 9.3

При $x = 1.2773501$ производная имеет вид $12.38711342$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{\sqrt{13}}{13}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{13}}{13}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{\sqrt{13}}{13}), (\frac{\sqrt{13}}{13}, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{\sqrt{13}}{13}, 0), (0, \frac{\sqrt{13}}{13})$

Этап 11