Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2} + 64}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 64$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Этап 2.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Этап 2.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Этап 2.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.9.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 8$ и $g (x) = x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} (x - 8) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $x + 8$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.5

По правилу суммы производная $x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.8.2

Умножим $x - 8$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.4.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.4.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.2

Развернем $(- 2 x - 16) (x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.3.1.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.3.1.3

Умножим $- 16$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.3.2

Вычтем $16 x$ из $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.3.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.2.3

Добавим $0$ и $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x}{x^{4}}$

Этап 3.9.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Вынесем множитель $x$ из $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Этап 3.9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.3

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 5.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Этап 5.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.3.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.1.9.3.2

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 8) (x - 8) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 6.3.2

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6.3.3

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 6.3.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 6.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 8) (x - 8) = 0$ верно.

$x = - 8, 8$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 8, 8$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{128}{{(- 8)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$\frac{128}{- 512}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $128$ и $- 512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $128$ из $128$ .

$\frac{128 (1)}{- 512}$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $- 512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Этап 10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 4}$

Этап 10.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 11

$x = - 8$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 8$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2} + 64}{- 8}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f (- 8) = \frac{64 + 64}{- 8}$

Этап 12.2.1.2

Добавим $64$ и $64$ .

$f (- 8) = \frac{128}{- 8}$

Этап 12.2.2

Разделим $128$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - 16$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$y = - 16$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{128}{{(8)}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{128}{512}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $128$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $128$ из $128$ .

$\frac{128 (1)}{512}$

Этап 14.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Этап 14.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Этап 14.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 15

$x = 8$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 8$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = \frac{{(8)}^{2} + 64}{8}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (8) = \frac{64 + 64}{8}$

Этап 16.2.1.2

Добавим $64$ и $64$ .

$f (8) = \frac{128}{8}$

Этап 16.2.2

Разделим $128$ на $8$ .

$f (8) = 16$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$y = 16$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

$(- 8, - 16)$ — локальный максимум

$(8, 16)$ — локальный минимум

Этап 18