Математический анализ Примеры

$e^{x} - 2 x$

Этап 1

Запишем $e^{x} - 2 x$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} - 2 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{x} - 2$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 3.2

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = e^{x} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$e^{x} - 2 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 5.1.2

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 2$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - 2$ .

$e^{x} - 2$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 2$

Этап 6.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 6.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 6.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 6.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \ln (2)$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \ln (2)$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$e^{\ln (2)}$

Этап 10

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$2$

Этап 11

$x = \ln (2)$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \ln (2)$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (2)$ .

$f (\ln (2)) = e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (2)) = 2 - 2 \ln (2)$

Этап 12.2.1.2

Упростим $- 2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (2^{2})$

Этап 12.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (4)$

Этап 12.2.2

Окончательный ответ: $2 - \ln (4)$ .

$y = 2 - \ln (4)$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$ — локальный минимум

Этап 14