Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 4]$ , найдем область определения $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x + 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 2 = 0$

Этап 2.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.1.2.6.4

Добавим $0$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(1, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $(1, 4)$ , найдем область определения $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(1, 4)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(1, 4)$ , поскольку производная является непрерывной на $(1, 4)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[1, 4]$ , дифференцируемое в области $(1, 4)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 4]$ , дифференцируемое в области $(1, 4)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[1, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[1, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $(4) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Этап 8.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Этап 8.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Этап 8.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Этап 8.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Этап 8.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 9

Решим $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Этап 9.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Этап 9.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Этап 9.1.5

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Этап 9.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 9.1.7

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 9.1.7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Этап 9.2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 9.2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 9.2.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 9.2.5

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 9.2.6

Множители $x + 2$ — это $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , то есть $x + 2$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ встречается $2$ раз.

Этап 9.2.7

НОК ${(x + 2)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(x + 2)}^{2}$

Этап 9.2.8

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ умножим на $9 {(x + 2)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ на $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.2.2

Умножим $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Объединим $9$ и $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.2.2.2

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.2.3

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Этап 9.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Этап 9.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Этап 9.4.3

Упростим $\pm \sqrt{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Этап 9.4.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 9.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 9.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Этап 9.4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Этап 9.4.4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Этап 9.4.4.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Этап 9.4.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 4$ , находится в точке $x = 3 \sqrt{2} - 2$ .

Касательная в точке $x = 3 \sqrt{2} - 2$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 4$ .

Этап 11

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 4$ , находится в точке $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ .

Касательная в точке $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 1$ и $b = 4$ .

Этап 12