Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.3.2

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.3.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 (- \sin (x))$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $2 x \cos (x)$ из $\cos (x) (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Этап 1.5.2.1.2

Вычтем $2 x \cos (x)$ из $2 x \cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0 - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Этап 1.5.2.2

Добавим $x^{2} (- \sin (x))$ и $0$ .

$x^{2} (- \sin (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

Этап 1.5.2.3

Добавим $- 2 \sin (x)$ и $2 \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0$

Этап 1.5.2.4

Добавим $x^{2} (- \sin (x))$ и $0$ .

$x^{2} (- \sin (x))$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $x^{2} (- \sin (x))$ .

$f' (x) = - x^{2} \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Этап 2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$