Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x^{3} + 9}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{3} + 9$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9] - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2.6

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9)}{x^{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Этап 1.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Этап 1.8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Этап 1.8.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $6 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.5

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2.7

Добавим $12 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Перенесем $12$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{12 \cdot x^{4} - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{12 x^{4} - (4 x^{3} - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3} - 9) x}{x^{4}}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{4} + (- 2 (4 x^{3}) - 2 \cdot - 9) x}{x^{4}}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3}) x - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x \cdot x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x^{1} x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{1 + 3}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{4}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.3.2

Вычтем $8 x^{4}$ из $12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.4

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{4} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 18 x}{x^{4}}$

Этап 2.7.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)}{x^{4}}$

Этап 2.7.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x^{3} + 9)}{x^{4}}$

Этап 2.7.5

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x (2 x^{3} + 9)$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x^{4}}$

Этап 2.7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3} + 9)}{x^{3}}$