Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Этап 2.2.2

Объединим.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $7^{n + 1}$ и $7^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $7^{n}$ из $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Вынесем множитель $7^{n}$ из $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $4^{n + 3}$ и $4^{n + 1 + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $4^{n + 1 + 3}$ из $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ на $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Этап 2.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Добавим $1$ и $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Этап 2.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Этап 2.2.5.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Этап 2.2.6

Объединим противоположные члены в $n + 3 - n - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Этап 2.2.6.2

Добавим $0$ и $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Этап 2.2.7

Вычтем $4$ из $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Этап 2.2.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Этап 2.2.9

Объединим $7$ и $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Этап 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.