Математический анализ Примеры

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.3.3

Умножим ${(x^{2} - 9)}^{2}$ на $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.14

Добавим $1$ и $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.16

Объединим $- 18$ и $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.18.2.1

Умножим $- 3$ на $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.1.18.2.2

Умножим $18$ на $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $162$ к обеим частям уравнения.

$- 54 x^{2} = 162$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- 54 x^{2} = 162$ на $- 54$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- 54 x^{2} = 162$ на $- 54$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $162$ на $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Этап 3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем ${(x + 3)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем ${(x + 3)}^{3}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Этап 3.2.3.2

Решим ${(x + 3)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.2.3.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.2.4

Приравняем ${(x - 3)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем ${(x - 3)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Этап 3.2.4.2

Решим ${(x - 3)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Этап 4

Вычислим $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Этап 4.1.2.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Этап 4.2.2.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены