Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x^{2} (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{2}{3} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{2}{3} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \cdot 2 \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- 2 (\frac{2}{3}) \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Этап 4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 2 \cdot 2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Этап 4.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Этап 4.6

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 5.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u)$

Этап 7

Развернем $u^{\frac{3}{2}} (- u + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Этап 7.2

Изменим порядок $u^{\frac{3}{2}}$ и $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Этап 7.3

Изменим порядок $u^{\frac{3}{2}}$ и $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.4

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.5

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.9

Добавим $3$ и $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.10

Умножим $u^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7.11

Изменим порядок $- u^{\frac{5}{2}}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}} d u)$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Этап 10

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - \int u^{\frac{5}{2}} d u))$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{\frac{5}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{2}{7}$ и $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

Этап 13.2

Упростим.

$- \frac{2}{3} x^{2} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Этап 13.3.2

Объединим ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{x^{2} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \cdot 2)}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Этап 13.3.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{2})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Этап 13.3.4

Перенесем $2$ влево от ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Этап 13.3.5

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Этап 13.3.6

Объединим $u^{\frac{7}{2}}$ и $\frac{2}{7}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{u^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{7})) + C$

Этап 13.3.7

Перенесем $2$ влево от $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot u^{\frac{7}{2}}}{7})) + C$

Этап 13.3.8

Чтобы записать $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot \frac{3}{3} + C$

Этап 13.3.9

Объединим $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Этап 13.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Этап 13.3.11

Объединим $\frac{4}{3}$ и $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4 \cdot 3}{3}}{3} + C$

Этап 13.3.12

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{12}{3}}{3} + C$

Этап 13.3.13

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3}}{3} + C$

Этап 13.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}{3} + C$

Этап 13.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}{3} + C$

Этап 13.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4}{1}}{3} + C$

Этап 13.3.13.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 4}{3} + C$

Этап 13.3.14

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} {(1 - x)}^{\frac{7}{2}})) + C$