Математический анализ Примеры

$16 \sin^{2} (2 x)$

Этап 1

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$16 \int \sin^{2} (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Объединим $\sin^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$16 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$16 (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 12

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 12.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 12.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 13

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Этап 15

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$4 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Этап 16

Упростим.

$4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Этап 17.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Этап 18.1.2

Объединим $\sin (4 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x) + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 18.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (4 x)}{2}$ в числитель.

$8 x + 4 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Этап 18.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 x + 2 (2) \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Этап 18.4.3

Сократим общий множитель.

$8 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Этап 18.4.4

Перепишем это выражение.

$8 x + 2 (- \sin (4 x)) + C$

Этап 18.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 x - 2 \sin (4 x) + C$