Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

Этап 1

Запишем $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ в виде функции.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1$

Этап 2.1.4.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 9$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 6 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x - 6 + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $12 x - 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x - 6$ .

$12 x - 6$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x - 6 = 0$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$12 x = 6$

Этап 3.3

Разделим каждый член $12 x = 6$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $12 x = 6$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$x = \frac{6 (1)}{12}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{1}{2}$ в $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (4)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.8

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 9 (\frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.10

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{9}{2}$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 2}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (- 1)}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 4.1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 9}{2}$

Этап 4.1.2.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.2.1

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 10}{2}$

Этап 4.1.2.4.2.2

Разделим $- 10$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 5$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{1}{2}$ в $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ , найдем точку $(\frac{1}{2}, - 5)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{1}{2}, - 5)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.4$ .

$f'' (0.4) = 12 (0.4) - 6$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $12$ на $0.4$ .

$f'' (0.4) = 4.8 - 6$

Этап 6.2.2

Вычтем $6$ из $4.8$ .

$f'' (0.4) = - 1.2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1.2$ .

$- 1.2$

Этап 6.3

При $0.4$ вторая производная имеет вид $- 1.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{1}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.6$ .

$f'' (0.6) = 12 (0.6) - 6$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $12$ на $0.6$ .

$f'' (0.6) = 7.2 - 6$

Этап 7.2.2

Вычтем $6$ из $7.2$ .

$f'' (0.6) = 1.2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $1.2$ .

$1.2$

Этап 7.3

При $0.6$ вторая производная имеет вид $1.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{1}{2}, - 5)$ .

$(\frac{1}{2}, - 5)$

Этап 9