Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

По правилу суммы производная $x - \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.2.2.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.2.2.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Этап 2.2.2.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Этап 2.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 3.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - x^{2}$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Этап 3.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 3.5.4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 3.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 3.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 3.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 4

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба