Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} \ln (3 x) + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.7

Объединим $\frac{1}{3 x}$ и $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.8.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.9

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.10

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.10.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.10.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.10.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.2.10.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.1.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Добавим $x + \ln (3 x) (2 x)$ и $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x \ln (3 x) = - x$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 x \ln (3 x) = - x$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 x \ln (3 x) = - x$ на $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $\ln (3 x)$ на $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Перепишем $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Перенесем $e^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (3 x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x \leq 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 x \leq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 x \leq 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x \leq 0$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $x^{2} \ln (3 x) + 6$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ вместо $x$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.1.2

Применим правило умножения к $3 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.3.3

Упростим.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Этап 4.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Этап 4.1.2.5

Перенесем $e^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

Этап 4.1.2.6

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ , вынося $- \frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

Этап 4.1.2.7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.2.9

Умножим $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $\frac{1}{9 e}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \ln (3 (0)) + 6$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем $\ln (3 (0))$ в виде $\ln (3) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Этап 4.2.2.1.3

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Этап 4.2.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

Этап 5