Математический анализ Примеры

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от скобок.

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ x^{j} θ)]$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в $\log (1 - σ x^{j} θ)$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \log (σ) x^{j} θ$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ по $y$ равна $- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \log (1 - σ θ x^{j})$ является константой относительно $y$ , производная $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ θ x^{j})$ по $y$ равна $- \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $1 - y^{j}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{j}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - \frac{d}{d y} [y^{j}])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - (j y^{j - 1}))$

Этап 4.6

Вычтем $j y^{j - 1}$ из $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (- j y^{j - 1})$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + 1 \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Этап 4.8

Умножим $\log (1 - σ θ x^{j})$ на $1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок членов.

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$ .

$- j θ y^{j - 1} x^{j} \log (σ) + j y^{j - 1} \log (1 - σ θ x^{j})$