Математический анализ Примеры

$\cos^{-1} (\sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos^{-1} (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos^{-1} (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \cos (x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Этап 3.2

Применим формулу Пифагора.

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x)}}$

Этап 3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$