Математический анализ Примеры

$2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$

Этап 1

Запишем $2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ в виде функции.

$f (x) = 2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2.34 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$ .

$\frac{d}{d x} [2.34 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2.34 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2.34$ является константой относительно $x$ , производная $2.34 x$ по $x$ равна $2.34 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.34 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2.34 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2.34$ на $1$ .

$2.34 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{28000}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{28000}$ по $x$ равна $- \frac{1}{28000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.34 - \frac{1}{28000} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2.34 - \frac{1}{28000} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2.34 - 2 (\frac{1}{28000}) x + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{28000}$ .

$2.34 + \frac{- 2}{28000} x + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{28000}$ и $x$ .

$2.34 + \frac{- 2 x}{28000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $28000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$2.34 + \frac{2 (- x)}{28000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $28000$ .

$2.34 + \frac{2 (- x)}{2 (14000)} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2.34 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2.34 + \frac{- x}{14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2.34 - \frac{x}{14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3100$ является константой относительно $x$ , производная $- 3100$ относительно $x$ равна $0$ .

$2.34 - \frac{x}{14000} + 0$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Добавим $2.34 - \frac{x}{14000}$ и $0$ .

$2.34 - \frac{x}{14000}$

Этап 2.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{x}{14000} + 2.34$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x}{14000} + 2.34$ .

$- \frac{x}{14000} + 2.34$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x}{14000} + 2.34 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x}{14000} + 2.34 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $2.34$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{14000} = - 2.34$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $- 14000$ .

$- 14000 (- \frac{x}{14000}) = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим $- 14000 (- \frac{x}{14000})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Сократим общий множитель $14000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{14000}$ в числитель.

$- 14000 \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4.1.1.1.2

Вынесем множитель $14000$ из $- 14000$ .

$14000 (- 1) \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$14000 \cdot - 1 \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - 14000 \cdot - 2.34$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 14000$ на $- 2.34$ .

$x = 32760$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $32760$ .

$32760$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{x}{14000} + 2.34$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ в интервале $(- \infty, 32760) \cup (32760, \infty)$ .

$(- \infty, 32760) \cup (32760, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 32760)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $32759$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $32759$ и $14000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $32759$ в виде $1 (32759)$ .

$f' (32759) = - \frac{1 (32759)}{14000} + 2.34$

Этап 6.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перепишем $14000$ в виде $1 (14000)$ .

$f' (32759) = - \frac{1 \cdot 32759}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Этап 6.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (32759) = - \frac{1 \cdot 32759}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Этап 6.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $2.34$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34 \cdot \frac{14000}{14000}$

Этап 6.2.3

Объединим $2.34$ и $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + \frac{2.34 \cdot 14000}{14000}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (32759) = \frac{- 32759 + 2.34 \cdot 14000}{14000}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2.34$ на $14000$ .

$f' (32759) = \frac{- 32759 + 32760}{14000}$

Этап 6.2.5.2

Добавим $- 32759$ и $32760$ .

$f' (32759) = \frac{1}{14000}$

Этап 6.2.6

Сократим общий множитель $1$ и $14000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Перепишем $1$ в виде $1 (1)$ .

$f' (32759) = \frac{1 (1)}{14000}$

Этап 6.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Перепишем $14000$ в виде $1 (14000)$ .

$f' (32759) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 14000}$

Этап 6.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (32759) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 14000}$

Этап 6.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (32759) = \frac{1}{14000}$

Этап 6.2.7

Окончательный ответ: $\frac{1}{14000}$ .

$\frac{1}{14000}$

Этап 6.3

При $x = 32759$ производная имеет вид $\frac{1}{14000}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 32760)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 32760)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(32760, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $32761$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $32761$ и $14000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем $32761$ в виде $1 (32761)$ .

$f' (32761) = - \frac{1 (32761)}{14000} + 2.34$

Этап 7.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Перепишем $14000$ в виде $1 (14000)$ .

$f' (32761) = - \frac{1 \cdot 32761}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Этап 7.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (32761) = - \frac{1 \cdot 32761}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Этап 7.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $2.34$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34 \cdot \frac{14000}{14000}$

Этап 7.2.3

Объединим $2.34$ и $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + \frac{2.34 \cdot 14000}{14000}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (32761) = \frac{- 32761 + 2.34 \cdot 14000}{14000}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $2.34$ на $14000$ .

$f' (32761) = \frac{- 32761 + 32760}{14000}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 32761$ и $32760$ .

$f' (32761) = \frac{- 1}{14000}$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $- 1$ и $14000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Перепишем $- 1$ в виде $1 (- 1)$ .

$f' (32761) = \frac{1 (- 1)}{14000}$

Этап 7.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Перепишем $14000$ в виде $1 (14000)$ .

$f' (32761) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 14000}$

Этап 7.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (32761) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 14000}$

Этап 7.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (32761) = \frac{- 1}{14000}$

Этап 7.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (32761) = - \frac{1}{14000}$

Этап 7.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{1}{14000}$ .

$- \frac{1}{14000}$

Этап 7.3

При $x = 32761$ производная имеет вид $- \frac{1}{14000}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(32760, \infty)$ .

Убывание на $(32760, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 32760)$

Убывание на: $(32760, \infty)$

Этап 9