Математический анализ Примеры

$x^{2} \ln (x)$

Этап 1

Запишем $x^{2} \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x \ln (x) = - x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 x \ln (x) = - x$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 x \ln (x) = - x$ на $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Этап 3.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 5.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Этап 7

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Этап 8.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $2$ на $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Этап 8.2.2.2

Упростим $0.60653067 \ln (0.30326533)$ путем переноса $0.60653067$ под логарифм.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Этап 8.2.2.3

Возведем $0.30326533$ в степень $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Этап 8.2.3

Добавим $\ln (0.48496413)$ и $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Этап 8.3

При $x = 0.30326533$ производная имеет вид $- 0.42041501$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

Убывание на $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Исключим интервалы, не входящие в область определения.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Этап 10.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $2$ на $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Этап 10.2.2.2

Упростим $3.21306134 \ln (1.60653067)$ путем переноса $3.21306134$ под логарифм.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Этап 10.2.2.3

Возведем $1.60653067$ в степень $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Этап 10.2.3

Добавим $\ln (4.58705612)$ и $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $3.12976912$ .

$3.12976912$

Этап 10.3

При $x = 1.60653067$ производная имеет вид $3.12976912$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Убывание на: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 12