Математический анализ Примеры

${(x + 2)}^{3} (2 x - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 2)}^{3}$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

${(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(x + 2)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

${(x + 2)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x + 2)}^{3} (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

${(x + 2)}^{3} \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от ${(x + 2)}^{3}$ .

$2 \cdot {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $3$ влево от $2 x - 1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 \cdot (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} (1 + 0)$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} \cdot 1$

Этап 4.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 {(x + 2)}^{3} + (3 (2 x) + 3 \cdot - 1) {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (6 x + 3 \cdot - 1) {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из $2 {(x + 2)}^{3} + (6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из $2 {(x + 2)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2)) + (6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из $(6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2)) + {(x + 2)}^{2} (6 x - 3)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из ${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2)) + {(x + 2)}^{2} (6 x - 3)$ .

${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.5

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.6

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.7.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.7.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.7.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Этап 5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 4 x + 4) (2 x + 2 \cdot 2 + 6 x - 3)$

Этап 5.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (2 x + 4 + 6 x - 3)$

Этап 5.9

Добавим $2 x$ и $6 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (8 x + 4 - 3)$

Этап 5.10

Вычтем $3$ из $4$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (8 x + 1)$

Этап 5.11

Развернем $(x^{2} + 4 x + 4) (8 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} (8 x) + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.1

Перенесем $x$ .

$8 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$8 x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} + x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.5.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.6

Умножим $4$ на $8$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.7

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.8

Умножим $8$ на $4$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 32 x + 4 \cdot 1$

Этап 5.12.9

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 32 x + 4$

Этап 5.13

Добавим $x^{2}$ и $32 x^{2}$ .

$8 x^{3} + 33 x^{2} + 4 x + 32 x + 4$

Этап 5.14

Добавим $4 x$ и $32 x$ .

$8 x^{3} + 33 x^{2} + 36 x + 4$