Математический анализ Примеры

$\sin (y) = x$ ; $(0, π)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = π$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (y) y'$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (y) y' = 1$

Этап 1.5

Разделим каждый член $\cos (y) y' = 1$ на $\cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $\cos (y) y' = 1$ на $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{\cos (y)}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Переведем $\frac{1}{\cos (y)}$ в $\sec (y)$ .

$y' = \sec (y)$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (y)$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 0$ в $y = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$\sec (y)$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $π$ .

$\sec (π)$

Этап 1.7.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$- \sec (0)$

Этап 1.7.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.7.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(0, π)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 1 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - π = - 1 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - π = - 1 \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - π = - x$

Этап 2.3.2

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + π$

Этап 3