Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x + 2}$ , $y = \frac{1}{x + 1}$ , $x = 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{x + 2} = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.24512233 + y = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = - 0.24512233$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.24512233$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

Этап 1.3.2

Подставим $- 0.24512233$ вместо $x$ в $y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{- 0.24512233 + 1}$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$

Этап 1.3.2.3

Упростим $\frac{1}{(- 0.24512233) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Добавим $- 0.24512233$ и $1$ .

$y = \frac{1}{0.75487766}$

Этап 1.3.2.3.2

Разделим $1$ на $0.75487766$ .

$y = 1.32471795$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 0.24512233, 1.32471795)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} d x - \int_{- 0.24512233}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 0.24512233$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} - (\frac{1}{x + 1}) d x$

Этап 3.2

Чтобы записать $\sqrt{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\int_{- 0.24512233}^{2} \sqrt{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\sqrt{x + 2}$ и $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Этап 3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} (x + 1) - 1}{x + 1} d x$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} \cdot 1 - 1}{x + 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $\sqrt{x + 2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$

$\int_{- 0.24512233}^{2} \frac{\sqrt{x + 2} x + \sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} d x$

Этап 4