Математический анализ Примеры

$(y + 3) y^{2}$

Этап 1

Запишем $(y + 3) y^{2}$ в виде функции.

$f (y) = (y + 3) y^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (y)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (y)$ .

$F (y) = \int f (y) d y$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (y) = \int (y + 3) y^{2} d y$

Этап 4

Развернем $(y + 3) y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y \cdot y^{2} + 3 y^{2} d y$

Этап 4.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{1} y^{2} + 3 y^{2} d y$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{1 + 2} + 3 y^{2} d y$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\int y^{3} + 3 y^{2} d y$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int 3 y^{2} d y$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} + C + 3 \int y^{2} d y$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{3} y^{3} + C$

Этап 9.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} y^{4} + 1 y^{3} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + y^{3} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (y) = (y + 3) y^{2}$ .

$F (y) =$ $\frac{1}{4} y^{4} + y^{3} + C$