Математический анализ Примеры

$\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 4

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 5.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$e^{\tan (x)} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\tan (x)} + C$