Математический анализ Примеры

$12 \cos^{3} (2 x)$

Этап 1

Запишем $12 \cos^{3} (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

Этап 4

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6

Объединим $\cos^{3} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $12$ .

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 9

Вынесем $\cos^{2} (u_{1})$ за скобки.

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 10

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 11

Пусть $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Этап 11.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 15

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Этап 16

Упростим.

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (u_{1})$ .

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим $\sin^{3} (2 x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Этап 18.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ в числитель.

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Этап 18.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Этап 18.3.3

Сократим общий множитель.

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Этап 18.3.4

Перепишем это выражение.

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

Этап 18.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

Этап 19

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$