Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 1

Запишем $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 9

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Этап 11

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 12

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 13

Упростим.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$