Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Этап 4

Пусть $x = 2 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.6

Перепишем $4 \tan^{2} (t)$ в виде ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 \sec (t)$ из $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 6

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Этап 7

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 9

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Этап 11

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 14

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Этап 15

Упростим.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ равно $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Этап 17.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Этап 17.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{2}$ и $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Этап 17.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Этап 17.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Этап 17.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Этап 17.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Этап 17.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Этап 17.1.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Этап 17.1.10

Умножим $\frac{x + 2}{2}$ на $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Этап 17.1.11

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Этап 17.1.12

Перепишем $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Этап 17.1.12.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Этап 17.1.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Этап 17.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Этап 17.1.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Этап 17.2

Чтобы записать $- arcsec (\frac{x}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Этап 17.3

Объединим $- arcsec (\frac{x}{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Этап 17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Этап 17.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Этап 17.5.2

Перепишем это выражение.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Этап 17.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Этап 19

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ .

$F (x) =$ $- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$