Математический анализ Примеры

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ в виде $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ .

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.2

Развернем $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.3.3

Сократим общий множитель.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 x}$ в числитель.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.4.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Этап 4.3.1.6

Умножим $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

Этап 4.3.1.6.2

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

Этап 4.3.1.6.3

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

Этап 4.3.1.6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

Этап 4.3.1.6.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

Этап 4.3.1.6.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

Этап 4.3.1.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

Этап 4.3.1.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 4.4.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

Этап 11.2.2

Перенесем $x^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$