Математический анализ Примеры

$\sin (2 x) d x$

Этап 1

Запишем $\sin (2 x) d x$ в виде функции.

$f (x) = \sin (2 x) d x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (2 x) d x d x$

Этап 4

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \sin (2 x) x d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (2 x)$ .

$d (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$d (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Этап 6.3

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Этап 8.2

Умножим $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ на $1$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 10

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Этап 14

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем $d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ в виде $d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Этап 15.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Этап 15.2.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{x}{2}$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Этап 15.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (u)$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Этап 17.2

Изменим порядок членов.

$d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (2 x) d x$ .

$F (x) =$ $d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$