Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{y^{2}}{b^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{y^{2}}{b^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Разделим $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2}}}{1}$

Этап 1.2.3.1.3

Разделим $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $b^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Сократим общий множитель $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Этап 1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим $(- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = - 1 b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Этап 1.4.2.1.2

Перепишем $- 1 b^{2}$ в виде $- b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Этап 1.4.2.1.3

Объединим $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ и $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2}}$

Этап 1.4.2.1.4

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$

Этап 1.4.2.1.4.2

Изменим порядок $- b^{2}$ и $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$

Этап 1.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Этап 1.5.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Этап 1.5.2.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- b^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1}$

Этап 1.5.2.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1)}$

Этап 1.5.2.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{a})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1)}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1^{2})}$

Этап 1.5.2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{a}$ и $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + 1) (\frac{x}{a} - 1)}$

Этап 1.5.2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + \frac{a}{a}) (\frac{x}{a} - 1)}$

Этап 1.5.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1)}$

Этап 1.5.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1 \cdot \frac{a}{a})}$

Этап 1.5.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} + \frac{- a}{a})}$

Этап 1.5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} \frac{x - a}{a}}$

Этап 1.5.2.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.10.1

Объединим $b^{2}$ и $\frac{x + a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a)}{a} \cdot \frac{x - a}{a}}$

Этап 1.5.2.10.2

Умножим $\frac{b^{2} (x + a)}{a}$ на $\frac{x - a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a \cdot a}}$

Этап 1.5.2.10.3

Возведем $a$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a}}$

Этап 1.5.2.10.4

Возведем $a$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a^{1}}}$

Этап 1.5.2.10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1 + 1}}}$

Этап 1.5.2.10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}}$

Этап 1.5.2.11

Перепишем $\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}$ в виде ${(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.11.1

Вынесем полную степень $b^{2}$ из $b^{2} (x + a) (x - a)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2}}}$

Этап 1.5.2.11.2

Вынесем полную степень $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}}$

Этап 1.5.2.11.3

Перегруппируем дробь $\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))}$

Этап 1.5.2.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{(x + a) (x - a)}$

Этап 1.5.2.13

Объединим $\frac{b}{a}$ и $\sqrt{(x + a) (x - a)}$ .

$y = \pm \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Этап 1.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Этап 1.5.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Этап 1.5.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a} \to f (x) = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a} \to f (x) = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{a^{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Этап 3.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{2}{a^{2}} x + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Этап 3.2.2.4

Объединим $\frac{2}{a^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $- \frac{1}{b^{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y^{2}}{b^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y y')$

Этап 3.2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - 2 \frac{1}{b^{2}} (y y')$

Этап 3.2.3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{- 2}{b^{2}} (y y')$

Этап 3.2.3.6

Объединим $y$ и $\frac{- 2}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{y \cdot - 2}{b^{2}} y'$

Этап 3.2.3.7

Объединим $\frac{y \cdot - 2}{b^{2}}$ и $y'$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{y \cdot - 2 y'}{b^{2}}$

Этап 3.2.3.8

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{- 2 \cdot y y'}{b^{2}}$

Этап 3.2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y y'}{b^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y y'}{b^{2}} = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $\frac{2 x}{a^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y y'}{b^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{2 y y'}{b^{2}}}{1} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $\frac{2 y y'}{b^{2}}$ на $1$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{\frac{2 x}{a^{2}}}{1}$

Этап 3.5.2.3.2

Разделим $\frac{2 x}{a^{2}}$ на $1$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{2 x}{a^{2}}$

Этап 3.5.3

Умножим обе части на $b^{2}$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} b^{2} = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Этап 3.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Сократим общий множитель $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{b^{2}} b^{2} = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Этап 3.5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y y' = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Объединим $\frac{2 x}{a^{2}}$ и $b^{2}$ .

$2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$

Этап 3.5.5

Разделим каждый член $2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Разделим каждый член $2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Этап 3.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Этап 3.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Этап 3.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Этап 3.5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Этап 3.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Этап 3.5.5.3.2

Объединим.

$y' = \frac{2 x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (2 y)}$

Этап 3.5.5.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (2 y)}$

Этап 3.5.5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (y)}$

Этап 3.5.5.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$y' = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{b^{2} x}{a^{2} y} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$b^{2} x = 0$

Этап 4.2

Разделим каждый член $b^{2} x = 0$ на $b^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $b^{2} x = 0$ на $b^{2}$ .

$\frac{b^{2} x}{b^{2}} = \frac{0}{b^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b^{2} x}{b^{2}} = \frac{0}{b^{2}}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{b^{2}}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $0$ на $b^{2}$ .

$x = 0$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{((0) + a) ((0) - a)}}{a}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 + a) (0 - a)}}{a}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $a$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 - 1 (- a)) (0 - a)}}{a}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0) - 1 (- a)$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 (0 - a) (0 - a)}}{a}$

Этап 5.2.1.4

Возведем $0 - a$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Этап 5.2.1.5

Возведем $0 - a$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Этап 5.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{1 + 1}}}{a}$

Этап 5.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.8

Вычтем $a$ из $0$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(- a)}^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.9

Применим правило умножения к $- a$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.10

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.10.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.10.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1) {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (0) = \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{1 + 2} a^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{3} a^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- a^{2}}}{a}$

Этап 5.2.1.12

Изменим порядок $- 1$ и $a^{2}$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{a^{2} \cdot - 1}}{a}$

Этап 5.2.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (0) = \frac{b (a \sqrt{- 1})}{a}$

Этап 5.2.1.14

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$f (0) = \frac{b a i}{a}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{b a i}{a}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $b i$ на $1$ .

$f (0) = b i$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $b i$ .

$b i$

Этап 6

A tangent line cannot be imaginary. The line $y = b i$ does not exist on the real coordinate system. A tangent cannot contain imaginary values.

Этап 7

Solve the function $f (x) = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{((0) + a) ((0) - a)}}{a}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 + a) (0 - a)}}{a}$

Этап 7.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $a$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 - 1 (- a)) (0 - a)}}{a}$

Этап 7.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (0) - 1 (- a)$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 (0 - a) (0 - a)}}{a}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $0 - a$ в степень $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $0 - a$ в степень $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Этап 7.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{1 + 1}}}{a}$

Этап 7.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.8

Вычтем $a$ из $0$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(- a)}^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.9

Применим правило умножения к $- a$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.10

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1) {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{1 + 2} a^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{3} a^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- a^{2}}}{a}$

Этап 7.2.1.12

Изменим порядок $- 1$ и $a^{2}$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{a^{2} \cdot - 1}}{a}$

Этап 7.2.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (0) = - \frac{b (a \sqrt{- 1})}{a}$

Этап 7.2.1.14

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$f (0) = - \frac{b a i}{a}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (0) = - \frac{b a i}{a}$

Этап 7.2.2.2

Разделим $b i$ на $1$ .

$f (0) = - (b i)$

$f (0) = - b i$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- b i$ .

$- b i$

Этап 8

A tangent line cannot be imaginary. The line $y = - b i$ does not exist on the real coordinate system. A tangent cannot contain imaginary values.

Этап 9

There are no horizontal tangent lines on the function.

No horizontal tangent lines

Этап 10