Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ не определено.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Поскольку $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ слева, а $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ справа, то $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Поскольку $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ слева, а $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ справа, то $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.4.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Этап 5.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Этап 5.6.1.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Этап 5.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Этап 5.6.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Этап 5.6.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.6.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.6.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.6.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.3

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.4.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6.5

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Этап 6.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Этап 6.6.1.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Этап 6.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Этап 6.6.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Этап 6.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Этап 6.6.4

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 6.6.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.5.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.6.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 6.6.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 6.6.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 6.6.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.6.5.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.6.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.6.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.6.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.6.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 6.6.5.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 10