Математический анализ Примеры

$\frac{1}{9} x^{9} - x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{9} x^{9} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9} x^{9}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{1}{9} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.3

Объединим $9$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{9}{9} x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{9}{9}$ и $x^{8}$ .

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{8}$ на $1$ .

$x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{8} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{8} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{8} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{8} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f'' (x) = 8 x^{7} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 x^{7} + 0$

Этап 2.4

Добавим $8 x^{7}$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 x^{7}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{8} - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{9} x^{9} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{1}{9} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $9$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{9}{9} x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{9}{9}$ и $x^{8}$ .

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{8}}{9} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{8}$ на $1$ .

$x^{8} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{8} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{8} - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{8} - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{8} - 1$ .

$x^{8} - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{8} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{8} - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{8} = 1$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[8]{1}$

Этап 5.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 {(1)}^{7}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Единица в любой степени равна единице.

$8 \cdot 1$

Этап 9.2

Умножим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{9} \cdot {(1)}^{9} - (1)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{9} \cdot 1 - (1)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{9} - (1)$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{9} - 1$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (1) = \frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (1) = \frac{1 - 9}{9}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$f (1) = \frac{- 8}{9}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{8}{9}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{8}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 {(- 1)}^{7}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$8 \cdot - 1$

Этап 13.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot {(- 1)}^{9} - (- 1)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$f (- 1) = \frac{1}{9} \cdot - 1 - (- 1)$

Этап 15.2.1.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{9} - (- 1)$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} - (- 1)$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + 1$

Этап 15.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 1) = - \frac{1}{9} + \frac{9}{9}$

Этап 15.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 9}{9}$

Этап 15.2.2.3

Добавим $- 1$ и $9$ .

$f (- 1) = \frac{8}{9}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $\frac{8}{9}$ .

$y = \frac{8}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{9} x^{9} - x$ .

$(1, - \frac{8}{9})$ — локальный минимум

$(- 1, \frac{8}{9})$ — локальный максимум

Этап 17