Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 \sin (x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$4 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$4 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 1.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 1.2.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 4 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- 4 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 4 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cdot - 1 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $4 \sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$4 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 2.5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Приравняем $- 1 - 2 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $- 1 - 2 \cos (x)$ к $0$ .

$- 1 - 2 \cos (x) = 0$

Этап 2.6.2

Решим $- 1 - 2 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \cos (x) = 1$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 2.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 2.6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 2.6.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 2.6.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 \sin (x) (- 1 - 2 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставляя в $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Этап 3.2

Подставим $\frac{2 π}{3}$ в $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sin (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sin (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 3.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (2) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 3.2.2.1.4

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

Этап 3.2.2.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 3.2.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 3.2.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.2

Чтобы записать $2 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Объединим $2 \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.4.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.2.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.3

Подставляя $\frac{2 π}{3}$ в $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ , найдем точку $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 3.4

Подставим $\frac{4 π}{3}$ в $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (- \sin (\frac{π}{3})) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 4 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (2) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \sqrt{3}) + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{4 π}{3}))$

Этап 3.4.2.1.5

Умножим $2 (\frac{4 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 (4 π)}{3})$

Этап 3.4.2.1.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{8 π}{3})$

Этап 3.4.2.1.6

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 3.4.2.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Этап 3.4.2.1.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.2

Чтобы записать $- 2 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Объединим $- 2 \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.4.2

Добавим $- 4 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.5

Подставляя $\frac{4 π}{3}$ в $f (x) = 4 \sin (x) + \sin (2 x)$ , найдем точку $(\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 3.6

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}), (\frac{4 π}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 4 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $1.19401098$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty,)$ .

Возрастание в области $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(, \frac{2 π}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.04719755$ .

$f'' (1.04719755) = - 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2 (1.04719755))$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $1.04719755$ .

$f'' (1.04719755) = - 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$ .

$- 4 \sin (1.04719755) - 4 \sin (2.0943951)$

Этап 6.3

При $1.04719755$ вторая производная имеет вид $- 6.92820323$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(, \frac{2 π}{3})$ .

Убывание на $(, \frac{2 π}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 4 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Этап 7.3

При $3.14159265$ вторая производная имеет вид $2.26621555 E - 15$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ .

Возрастание в области $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.2887902$ .

$f'' (4.2887902) = - 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (2 (4.2887902))$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $4.2887902$ .

$f'' (4.2887902) = - 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$

Этап 8.2.2

Окончательный ответ: $- 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$ .

$- 4 \sin (4.2887902) - 4 \sin (8.5775804)$

Этап 8.3

При $4.2887902$ вторая производная имеет вид $0.64875081$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{4 π}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ .

$(,), (\frac{2 π}{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 10