Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ в виде $(4 + x) (4 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ в виде ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Этап 2.1.5

Упростим.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Этап 2.2

Развернем $(4 + x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Этап 2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$V = 16 + 0 - x^{2}$

Этап 2.3.3

Добавим $16$ и $0$ .

$V = 16 - x^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $16 x$ в $4$ и в $- 4$ .

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 4$ .

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $16$ на $4$ .

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 16$ на $- 4$ .

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.3

Добавим $64$ и $64$ .

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Этап 7.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Этап 7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Этап 7.2.3.8

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Этап 7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Этап 7.2.3.10

Добавим $64$ и $64$ .

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

Этап 7.2.3.11

Чтобы записать $128$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 7.2.3.12

Объединим $128$ и $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Этап 7.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Умножим $128$ на $3$ .

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

Этап 7.2.3.14.2

Вычтем $128$ из $384$ .

$V = π (\frac{256}{3})$

Этап 7.2.3.15

Объединим $π$ и $\frac{256}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

Этап 7.2.3.16

Перенесем $256$ влево от $π$ .

$V = \frac{256 π}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{256 π}{3}$

Десятичная форма:

$V = 268.08257310 \dots$

Этап 9