Математический анализ Примеры

$x = 2 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 7$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{9.16515138} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 7$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{12}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$V = 49 - {(\frac{x^{2}}{12})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{x^{2}}{12}$ .

$V = 49 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{12^{2}}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 49 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{12^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 49 - \frac{x^{4}}{12^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $12$ в степень $2$ .

$V = 49 - \frac{x^{4}}{144}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{9.16515138} 49 d x + \int_{0}^{9.16515138} - \frac{x^{4}}{144} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} + \int_{0}^{9.16515138} - \frac{x^{4}}{144} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \int_{0}^{9.16515138} \frac{x^{4}}{144} d x)$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{144}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{144}$ из-под знака интеграла.

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - (\frac{1}{144} \cdot \int_{0}^{9.16515138} x^{4} d x))$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{1}{144} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{9.16515138})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{1}{144} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138})$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}$ и $\frac{1}{144}$ .

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}}{144})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $49 x$ в $9.16515138$ и в $0$ .

$V = π ((49 \cdot 9.16515138) - 49 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}}{144})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $9.16515138$ и в $0$ .

$V = π ((49 \cdot 9.16515138) - 49 \cdot 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $49$ на $9.16515138$ .

$V = π (449.0924181 - 49 \cdot 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.2

Умножим $- 49$ на $0$ .

$V = π (449.0924181 + 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.3

Добавим $449.0924181$ и $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.4

Возведем $9.16515138$ в степень $5$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{144})$

Этап 8.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{144})$

Этап 8.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0}{1}}{144})$

Этап 8.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - 0}{144})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} + 0}{144})$

Этап 8.2.3.8

Добавим $\frac{64669.30820721}{5}$ и $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5}}{144})$

Этап 8.2.3.9

Перепишем $\frac{\frac{64669.30820721}{5}}{144}$ в виде произведения.

$V = π (449.0924181 - (\frac{64669.30820721}{5} \cdot \frac{1}{144}))$

Этап 8.2.3.10

Умножим $\frac{64669.30820721}{5}$ на $\frac{1}{144}$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{64669.30820721}{5 \cdot 144})$

Этап 8.2.3.11

Умножим $5$ на $144$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{64669.30820721}{720})$

Этап 8.2.3.12

Чтобы записать $449.0924181$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{720}{720}$ .

$V = π (449.0924181 \cdot \frac{720}{720} - \frac{64669.30820721}{720})$

Этап 8.2.3.13

Объединим $449.0924181$ и $\frac{720}{720}$ .

$V = π (\frac{449.0924181 \cdot 720}{720} - \frac{64669.30820721}{720})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{449.0924181 \cdot 720 - 64669.30820721}{720})$

Этап 8.2.3.15

Умножим $449.0924181$ на $720$ .

$V = π (\frac{323346.54103608 - 64669.30820721}{720})$

Этап 8.2.3.16

Вычтем $64669.30820721$ из $323346.54103608$ .

$V = π (\frac{258677.23282886}{720})$

Этап 8.2.3.17

Объединим $π$ и $\frac{258677.23282886}{720}$ .

$V = \frac{π \cdot 258677.23282886}{720}$

Этап 8.2.3.18

Умножим $π$ на $258677.23282886$ .

$V = \frac{812658.4943061}{720}$

Этап 9

Разделим $812658.4943061$ на $720$ .

$V = 1128.6923532$

Этап 10