Математический анализ Примеры

$\tan (3 x + y) = 3 x$ , $(0, 0)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\tan (3 x + y)) = \frac{d}{d y} (3 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \tan (y)$ и $g (y) = 3 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + y$ .

$\sec^{2} (3 x + y) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $3 x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Этап 5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x') + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Этап 5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Этап 5.1.1.4.2

Умножим $\sec^{2} (3 x + y)$ на $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Этап 5.1.1.4.3

Изменим порядок множителей в $3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y)$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 x'$ из обеих частей уравнения.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' = 0$

Этап 5.2.2

Перенесем $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 x'$ из $3 x' \sec^{2} (3 x + y)$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $3 x'$ из $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1 + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $3 x'$ из $3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1$ .

$3 x' (\sec^{2} (3 x + y) - 1) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Этап 5.2.6

Применим формулу Пифагора.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Этап 5.3

Вычтем $\sec^{2} (3 x + y)$ из обеих частей уравнения.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ на $3 \tan^{2} (3 x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ на $3 \tan^{2} (3 x + y)$ .

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $\tan^{2} (3 x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Этап 7

Заменим $x$ на $0$ и $y$ на $0$ в этом выражении.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Этап 8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Этап 8.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0 + 0)}$

Этап 8.3

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0)}$

Этап 8.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0^{2}}$

Этап 8.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0}$

Этап 8.6

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{0}$

Этап 8.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные